Leírás
Előszó 13
A HALMAZELMÉLET ELEMEI
Halmazok 15
Alapvető fogalmak 15
Halmaz hatványhalmaza 17
Halmaz részhalmazainak egy megadási módja 18
Megjegyzések 18
Műveletek halmazokkal 20
Halmazok egyesítése, metszete és különbsége 20
Feladatok 25
VALÓS SZÁMOK
A valós számokra vonatkozó axiómák 27
Előkészítő megjegyzések 27
Az összeadás és a szorzás axiómái 29
Rendezési axiómák 30
A felső határ axiómája 30
Az Arkhimédész-féle axióma 32
A testaxiómák néhány következménye. A természetes számok halmaza 32
Valós számok közötti műveletek 32
A természetes számok halmaza 35
Az egész és a racionális számok halmaza 37
Példák teljes indukcióval történő bizonyításra 38
Az összegnek a tagok sorrendjétől való függetlensége 38
Permutációk 41
Az „Első n” négyzetszám összege 42
A binomiális tétel 43
Véges halmaz részhalmazainak a száma 45
A Bernoulli-féle egyenlőtlenség 46
Két fontos egyenlőség 47
A felső határ axiómájának néhány további következménye 48
Gyökvonás 48
További megjegyzések a felső határ axiómájával kapcsolatban. Számhalmaz maximuma és minimuma 52
A valós számok egy geometriai interpretációja. Számegyenes 54
Valós szám abszolút értéke. Valós számok halmazának néhány fontos részhalmaztípusa 55
Valós szám abszolút értéke 55
Távolság vagy metrika a valós számok halmazán 57
Intervallumok 58
Pont környezetei 60
Q és Q* elhelyezkedése R-ben 61
Feladatok 64
FÜGGVÉNYEK
Függvények megadása 69
Példák függvényekre 69
Függvények megadása 71
Függvények egyenlősége 74
Függvényekre vonatkozó jelölések 75
Halmaznak függvény szerinti képe és ősképe 80
Halmazrendszer egyesítése és közös része 81
Függvények képzésének néhány módja 84
Identikus leképezések 84
Konstans (állandó) függvények 85
Függvény adott halmazra vonatkozó leszűkítése 85
Két függvény összetett vagy közvetett függvénye (kompozíciója) 87
Invertálható függvények 90
Néhány fontos függvénytípus 94
Injekció, szuperjekció és bijekció 94
Rendezett párok 100
Két halmaz Descartes-féle szorzata 102
Függvény grafikonja 105
Rendezett n-esek 106
Sorozatok 107
Halmazrendszer Descartes-féle szorzata 110
Valós-valós függvények 112
Előzetes megjegyzések 112
Műveletek valós függvényekkel 117
Monoton függvények 133
Konvex és konkáv függvények 140
Abszolút szélsőértékek 150
Páros, páratlan függvény. Periodikus függvény 158
Előzetesen a trigonometrikus függvényekről 162
Valós-valós függvények néhány lokális tulajdonsága 165
A halmazokra és a valós számokra vonatkozó műveletek függvényszerű tárgyalása 173
Bináris művelet 173
Csoport és test 177
Relációk 182
Feladatok 191
SOROZATOK ÉS SOROK
Konvergens és divergens számsorozatok 201
Előzetes megjegyzések 201
Nullasorozatok 201
Konvergens számsorozatok 207
Sorozat részsorozatai 220
A valós számok egy reprezentációja 223
A Cantor-féle közösrész-tétel és néhány következménye 225
A Cantor-féle közösrész-tétel 225
A Bolzano-Weierstrass-féle tételek 227
Halmazok számosságáról 232
A Cauchy-féle konvergencia-kritérium 239
Cauchy-féle sorozatok 239
A Cauchy-féle konvergencia-kritérium 241
Végtelen sorok 243
A végtelen numerikus sor fogalma 243
Konvergens és divergens sorok 248
Feltételesen konvergens és abszolút konvergens numerikus sorok 252
Végtelen tizedes törtek 260
Valós függvénysorozatok és függvénysorok 267
Bevezetés 267
Függvénysorozatok konvergenciája 269
A függvénysorozatokra vonatkozó Cauchy-féle konvergencia-kritérium 274
Az egyenletes konvergencia 278
Függvénysorok 280
Hatványsorok 285
Végtelen sorok Cauchy-féle szorzata 288
A valós számok kibővített halmaza 292
Számsorozatok tágabb értelemben vett határértéke 292
A / valós számok kibővített halmaza 300
R-beli sorozatok határértéke 303
R-beli sorozatok alsó és felső határértéke 309
A Cauchy-Hadamard-féle tétel 314
Feladatok 320
FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA
Valós-valós függvények pontbeli folytonossága 333
Előkészítés 333
A pontbeli folytonosság értelmezése 336
A pontbeli folytonosságra vonatkozó példák és egyszerű eredmények 341
A pontbeli folytonosságra vonatkozó alapvető eredmények 349
Alkalmazás: polinomvizsgálat 356
A folytonosságra vonatkozó átviteli elv 373
Függvény pontbeli folytonos kiterjesztése 376
Globális folytonosság 382
Folytonos függvények 382
Bolzano tétele 385
Weierstrass tétele 395
Folytonos függvényekből álló függvénysorozatok 400
Az egyenletes folytonosság 404
Borel tétele 410
R R típusú függvények folytonossága 414
Előkészítés 414
R R típusú függvények folytonossága 417
R R típusú függvények pontbeli folytonos kiterjesztése 421
R R típusú függvények határértéke 423
R R típusú függvények egyoldali határértéke 432
Feladatok 437
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Deriválható függvények 445
A derivált vagy differenciálhányados. A deriváltfüggvény 445
A deriválhatóság értelmezésének különféle módjai 455
Deriválási szabályok 563
Egyoldali deriváltak 475
Magasabb rendű deriváltak és deriváltfüggvények 481
A dervált fizikai és geometriai jelentése 491
A differenciálszámítás középértéktételei 499
Differenciálok 507
Néhány kiegészítés 511
Függvényvizsgálat 517
Növekedés és fogyás 517
Szélsőértékek 520
Konvexitás és konkávitás. Infleció 530
Kiegészítések 541
Elemi függvények 547
Az exponenciális függvény 548
A természetes logaritmusfüggvény 557
A szinusz- és a koszinuszfüggvény 568
A tangens- és a kotangensfüggvény 581
Az arkuszfüggvények 584
A hiperbolás függvények és az inverzeik 588
Elemi függvények 597
Taylor-féle formulák és sorok 602
A probléma felvetése 602
Taylor-féle formulák 604
Taylor-féle sorok 611
Feladatok 618
INTEGRÁLSZÁMÍTÁS
Lépcsősfüggvények integrálja 629
Előkészítés 629
Lépcsősfüggvények 632
Lépcsősfüggvények integrálja 637
Egyszerű függvények 645
Az integrál kiterjesztése egyszerű függvényekre 645
Az integrálra vonatkozó alapvető tételek 655
Egyszerű függvények sorozatai 662
A E (a, b) függvényosztály jellemzése 666
Integrálási módszerek 678
Integrálfüggvények 678
Egyszerű függvények primitív függvénye és határozatlan integrálja 681
Alapintegrálok 692
Parciális integrálás 703
Helyettesítéses integrálás 708
Racionális törtfüggvények integrálása 723
Improprius integrálok 738
Az integrálszámítás néhány alkalmazása 748
Terület, munka 748
Néhány további geometriai alkalmazás 756
Néhány egyszerű kezdetiérték-probléma 770
Feladatok 788
Jelölések jegyzéke 799
Név- és tárgymutató 805
